Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{2} - x$ . Entonces $d u = (6 x - 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{2} - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 x - 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Paso 1.5.2

Resta $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 10$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $10$ y en $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $10$ es $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Paso 5.3

Divide $10$ por $2$ .

$\ln (5)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (5)$

Forma decimal:

$1.60943791 \dots$

Paso 7