Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} x^{2} {(x^{3} - 10)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} - 10$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} - 10$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 10]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 1.1.4

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} - 10$ .

$u_{lower} = 1^{3} - 10$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 - 10$

Paso 1.3.2

Resta $10$ de $1$ .

$u_{lower} = - 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} - 10$ .

$u_{upper} = 3^{3} - 10$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 27 - 10$

Paso 1.5.2

Resta $10$ de $27$ .

$u_{upper} = 17$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 9$

$u_{upper} = 17$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 9}^{17} u^{3} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 9}^{17} \frac{u^{3}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 9}^{17} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 9}^{17}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $17$ y en $- 9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 17^{4}) - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $17$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 83521 - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $83521$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Paso 5.2.3

Eleva $- 9$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6561)$

Paso 5.2.4

Multiplica $6561$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - 6561 (\frac{1}{4}))$

Paso 5.2.5

Combina $- 6561$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} + \frac{- 6561}{4})$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{6561}{4})$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{83521 - 6561}{4}$

Paso 5.2.8

Resta $6561$ de $83521$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{76960}{4}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $76960$ y $4$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $4$ de $76960$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4}$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 (1)}$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19240}{1}$

Paso 5.2.9.2.4

Divide $19240$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 19240$

Paso 5.2.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $19240$ .

$\frac{19240}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{19240}{3}$

Forma decimal:

$6413.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$6413 \frac{1}{3}$

Paso 7