Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $p$ es constante con respecto a $x$ , mueve $p$ fuera de la integral.

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln^{2} (x)$ y $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $x$ y $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Paso 3.2.2

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

Paso 4

Reescribe $\ln (x^{2})$ como $2 \ln (x)$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

Paso 6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\ln^{2} (x) x$ en $3$ y en $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Paso 10.2

Evalúa $\ln (x) x$ en $3$ y en $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

Paso 10.3

Evalúa $x$ en $3$ y en $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln^{2} (3)$ .

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Paso 10.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Paso 10.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

Paso 10.4.5

Resta $1$ de $3$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

Paso 10.4.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Paso 11.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Paso 11.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

Paso 11.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

Paso 11.1.5

Suma $3 \ln (3)$ y $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

Paso 11.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

Paso 11.1.7

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

Paso 11.1.8

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

Paso 11.2

Suma $3 \ln^{2} (3)$ y $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

Paso 11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

Paso 11.4

Mueve $4$ a la izquierda de $p$ .

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

Paso 11.5

Mueve $3$ a la izquierda de $p$ .

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$