Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $r$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (r)$ y $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Paso 3.2

Combina $\ln (r)$ y $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{r^{4}}{4}$ por $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $r^{4}$ y $r$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $r$ de $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $r$ de $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $r$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ y $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ en $3$ y en $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{r^{4}}{4}$ en $3$ y en $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.2

Mueve $81$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.8

Resta $1$ de $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.9

Cancela el factor común de $80$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.9.1

Factoriza $4$ de $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Paso 6.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.9.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Paso 6.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Paso 6.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Paso 6.2.3.9.2.4

Divide $20$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Paso 6.2.3.10

Cancela el factor común de $20$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.10.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Paso 6.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Paso 6.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Paso 6.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Paso 6.2.3.10.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Paso 6.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Paso 7.3

Suma $81 \ln (3)$ y $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Paso 7.5

Multiplica $9$ por $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Paso 7.6

Multiplica $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

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Paso 7.6.1

Combina $9$ y $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Paso 7.6.2

Multiplica $81$ por $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Forma decimal:

$155.22208960 \dots$