Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{12 \ln^{5} (x)}{x} d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{5} (x)}{x} d x$

Paso 2

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$12 \int_{0}^{\ln (4)} u^{5} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$12 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\ln (4)})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{6}$ y $u^{6}$ .

$12 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\ln (4)})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{6}}{6}$ en $\ln (4)$ y en $0$ .

$12 ((\frac{\ln^{6} (4)}{6}) - \frac{0^{6}}{6})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{6})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $6$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $6$ de $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 (0)}{6})$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{1})$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - 0)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} + 0)$

Paso 5.2.4

Suma $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ y $0$ .

$12 \frac{\ln^{6} (4)}{6}$

Paso 5.2.5

Combina $12$ y $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ .

$\frac{12 \ln^{6} (4)}{6}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $6$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $6$ de $12 \ln^{6} (4)$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6}$

Paso 5.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.6.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 (1)}$

Paso 5.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 \cdot 1}$

Paso 5.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln^{6} (4)}{1}$

Paso 5.2.6.2.4

Divide $2 \ln^{6} (4)$ por $1$ .

$2 \ln^{6} (4)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln^{6} (4)$

Forma decimal:

$14.19589361 \dots$