Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} {(3 x + 2)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x + 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 + 2$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $3$ y $2$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x + 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$u_{upper} = 12 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $12$ y $2$ .

$u_{upper} = 14$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 14$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{5}^{14} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{5}^{14} \frac{u^{2}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{5}^{14} u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{5}^{14}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $14$ y en $5$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $14$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2744$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Paso 5.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 125)$

Paso 5.2.4

Multiplica $125$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - 125 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.2.5

Combina $- 125$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} + \frac{- 125}{3})$

Paso 5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{125}{3})$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2744 - 125}{3}$

Paso 5.2.8

Resta $125$ de $2744$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2619}{3}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $2619$ y $3$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $3$ de $2619$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3}$

Paso 5.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 (1)}$

Paso 5.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 \cdot 1}$

Paso 5.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{873}{1}$

Paso 5.2.9.2.4

Divide $873$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 873$

Paso 5.2.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $873$ .

$\frac{873}{3}$

Paso 5.2.11

Cancela el factor común de $873$ y $3$ .

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Paso 5.2.11.1

Factoriza $3$ de $873$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3}$

Paso 5.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3 (1)}$

Paso 5.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 291}{3 \cdot 1}$

Paso 5.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{291}{1}$

Paso 5.2.11.2.4

Divide $291$ por $1$ .

$291$

Paso 6