Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} {(x^{2} + 2)}^{3} x d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 2$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 2$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 2$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $2$ .

$u_{lower} = 6$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 2$ .

$u_{upper} = 4^{2} + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 16 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $16$ y $2$ .

$u_{upper} = 18$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 18$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{6}^{18} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{18} \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{18} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{6}^{18}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $18$ y en $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 18^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Eleva $18$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 104976 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{104976}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $104976$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{26244}{1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.3.2.4

Divide $26244$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Paso 5.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 1296)$

Paso 5.2.5

Multiplica $1296$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 1296 (\frac{1}{4}))$

Paso 5.2.6

Combina $- 1296$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 1296}{4})$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $- 1296$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

Factoriza $4$ de $- 1296$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4})$

Paso 5.2.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 (1)})$

Paso 5.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 \cdot 1})$

Paso 5.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 324}{1})$

Paso 5.2.7.2.4

Divide $- 324$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 324)$

Paso 5.2.8

Resta $324$ de $26244$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25920$

Paso 5.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $25920$ .

$\frac{25920}{2}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $25920$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.1

Factoriza $2$ de $25920$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 12960}{2 (1)}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12960}{1}$

Paso 5.2.10.2.4

Divide $12960$ por $1$ .

$12960$

Paso 6