Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} \frac{w^{4} - w}{w^{3}} d w$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Simplifica.

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Paso 1.1.1

Factoriza $w$ de $w^{4} - w$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $w$ de $w^{4}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} - w}{w^{3}} d w$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $w$ de $- w$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} + w \cdot - 1}{w^{3}} d w$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $w$ de $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w^{3}} d w$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $w$ de $w^{3}$ .

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{2}^{4} \frac{w^{3} - 1}{w^{2}} d w$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $w^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{- 2} d w$

Paso 2

Multiplica $(w^{3} - 1) w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w^{3} w^{- 2} - 1 w^{- 2} d w$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $w^{3}$ por $w^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{2}^{4} w^{3 - 2} - 1 w^{- 2} d w$

Paso 3.1.2

Resta $2$ de $3$ .

$\int_{2}^{4} w^{1} - 1 w^{- 2} d w$

Paso 3.2

Simplifica $w^{1}$ .

$\int_{2}^{4} w - 1 w^{- 2} d w$

Paso 3.3

Reescribe $- 1 w^{- 2}$ como $- w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w - w^{- 2} d w$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{4} w d w + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $w$ con respecto a $w$ es $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $w$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} w^{- 2} d w$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $w^{- 2}$ con respecto a $w$ es $- w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{2} w^{2}$ en $4$ y en $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Paso 8.2

Evalúa $- w^{- 1}$ en $4$ y en $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.3.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$8 - 4 (\frac{1}{2}) - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.6

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 4}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 8.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$8 + \frac{- 2}{1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.7.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$8 - 2 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.8

Resta $2$ de $8$ .

$6 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + 2^{- 1})$

Paso 8.3.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Paso 8.3.11

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 8.3.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.12.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Paso 8.3.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Paso 8.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 - \frac{- 1 + 2}{4}$

Paso 8.3.14

Suma $- 1$ y $2$ .

$6 - \frac{1}{4}$

Paso 8.3.15

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 8.3.16

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 8.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 8.3.18

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.18.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{24 - 1}{4}$

Paso 8.3.18.2

Resta $1$ de $24$ .

$\frac{23}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{23}{4}$

Forma decimal:

$5.75$

Forma de número mixto:

$5 \frac{3}{4}$

Paso 10