Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $2 t$ en $5$ y en $2$ .

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{t^{2}}{2}$ en $5$ y en $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Paso 8.2.3

Evalúa $\frac{t^{3}}{3}$ en $5$ y en $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4

Simplifica.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.3

Resta $4$ de $10$ .

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.8

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.9

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.11.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11.2

Resta $4$ de $25$ .

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.12

Combina $2$ y $\frac{21}{2}$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13

Multiplica $2$ por $21$ .

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14

Cancela el factor común de $42$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.14.1

Factoriza $2$ de $42$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.14.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.2

Cancela el factor común.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.3

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.15

Suma $6$ y $21$ .

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.16

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.17

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 8.2.4.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

Paso 8.2.4.19

Resta $8$ de $125$ .

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

Paso 8.2.4.20

Cancela el factor común de $117$ y $3$ .

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Paso 8.2.4.20.1

Factoriza $3$ de $117$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

Paso 8.2.4.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.20.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

Paso 8.2.4.20.2.2

Cancela el factor común.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

Paso 8.2.4.20.2.3

Reescribe la expresión.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

Paso 8.2.4.20.2.4

Divide $39$ por $1$ .

$27 + 3 \cdot 39$

Paso 8.2.4.21

Multiplica $3$ por $39$ .

$27 + 117$

Paso 8.2.4.22

Suma $27$ y $117$ .

$144$

Paso 9