Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{2} 3 + \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{2} 3 d x + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $x = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.6

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x]_{- 2}^{2} + \frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 11.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 11.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 11.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 11.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Paso 11.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 12

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$3 x]_{- 2}^{2} + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Paso 16

Sustituye y simplifica.

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Paso 16.1

Evalúa $3 x$ en $2$ y en $- 2$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Paso 16.2

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Paso 16.3

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $- π$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4

Simplifica.

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Paso 16.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$6 + 6 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.3

Suma $6$ y $6$ .

$12 + 2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 + 2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.5

Suma $π$ y $π$ .

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.6.1

Cancela el factor común.

$12 + 2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.4.6.2

Divide $π$ por $1$ .

$12 + 2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$12 + 2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 + 2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Paso 17.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Paso 17.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$12 + 2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Paso 17.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Paso 17.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Paso 17.1.6

Suma $0$ y $0$ .

$12 + 2 (π + \frac{0}{2})$

Paso 17.2

Divide $0$ por $2$ .

$12 + 2 (π + 0)$

Paso 18

Suma $π$ y $0$ .

$12 + 2 π$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$12 + 2 π$

Forma decimal:

$18.28318530 \dots$

Paso 20