Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Paso 4

Sea $u = - 0.4 x$ . Entonces $d u = - 0.4 d x$ , de modo que $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - 0.4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Paso 4.1.2

Como $- 0.4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.4 x$ con respecto a $x$ es $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 0.4$ por $1$ .

$- 0.4$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Paso 4.3

Multiplica $- 0.4$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Paso 4.5

Multiplica $- 0.4$ por $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Paso 5.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{0.4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.4}$ fuera de la integral.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{0.4}$ y $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $x$ en $3$ y en $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 1.2$ y en $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Paso 11.3

Resta $2$ de $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Divide $2$ por $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Paso 12.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Paso 12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Paso 12.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Paso 12.2.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Paso 12.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Paso 12.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Paso 12.2.5

Combina $5$ y $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Forma decimal:

$1.74067376 \dots$

Paso 14