Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 2

Dado que $0.1$ es constante con respecto a $a$ , mueve $0.1$ fuera de la integral.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 3

Sea $u = - 0.1 a$ . Entonces $d u = - 0.1 d a$ , de modo que $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 0.1 a$ . Obtén $\frac{d u}{d a}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Paso 3.1.2

Como $- 0.1$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 0.1 a$ con respecto a $a$ es $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 0.1$ por $1$ .

$- 0.1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $a$ en $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Paso 3.3

Multiplica $- 0.1$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $a$ en $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Paso 3.5

Multiplica $- 0.1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{0.1}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.1}$ fuera de la integral.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{0.1}$ y $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 0.1$ y $0.1$ .

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Paso 8.2.1

Reescribe $- 0.1$ como $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 8.2.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Paso 10

Dado que $2$ es constante con respecto a $a$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{a}$ con respecto a $a$ es $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 0.3$ y en $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Paso 12.2

Evalúa $\ln (| a |)$ en $3$ y en $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Paso 12.3

Elimina los paréntesis.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Paso 13

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 14.3

Multiplica $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

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Paso 14.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 14.3.2

Multiplica $\frac{1}{e^{0.2}}$ por $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 14.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Paso 14.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Paso 14.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.88884274 \dots$

Paso 16