Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} {(2 + 2 x)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 + 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 2 + 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $2 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 + 2 x$ .

$u_{lower} = 2 + 2 \cdot 2$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{lower} = 2 + 4$

Paso 1.3.2

Suma $2$ y $4$ .

$u_{lower} = 6$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 + 2 x$ .

$u_{upper} = 2 + 2 \cdot 3$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$u_{upper} = 2 + 6$

Paso 1.5.2

Suma $2$ y $6$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{6}^{8} u^{2} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{8} \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{8} u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{8}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $8$ y en $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $512$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Paso 5.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 216)$

Paso 5.2.4

Multiplica $216$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 216 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.2.5

Combina $- 216$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 216}{3})$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $- 216$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3})$

Paso 5.2.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)})$

Paso 5.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1})$

Paso 5.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72}{1})$

Paso 5.2.6.2.4

Divide $- 72$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72)$

Paso 5.2.7

Para escribir $- 72$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 5.2.8

Combina $- 72$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72 \cdot 3}{3})$

Paso 5.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 72 \cdot 3}{3}$

Paso 5.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.10.1

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 216}{3}$

Paso 5.2.10.2

Resta $216$ de $512$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{296}{3}$

Paso 5.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{296}{3}$ .

$\frac{296}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{296}{6}$

Paso 5.2.13

Cancela el factor común de $296$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.13.1

Factoriza $2$ de $296$ .

$\frac{2 (148)}{6}$

Paso 5.2.13.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.13.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{148}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{148}{3}$

Forma decimal:

$49.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$49 \frac{1}{3}$

Paso 7