Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Paso 2

Multiplica $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Paso 3

Multiplica $u^{2}$ por $u^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Paso 3.2

Resta $3$ de $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Paso 7.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Paso 8

La integral de $u^{- 1}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $- \frac{1}{2 u^{2}}$ en $3$ y en $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Paso 9.1.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $3$ y en $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3

Simplifica.

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Paso 9.1.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.5

Para escribir $- \frac{1}{18}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.6

Para escribir $\frac{1}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $72$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1.3.7.1

Multiplica $\frac{1}{18}$ por $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.7.2

Multiplica $18$ por $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.7.3

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.7.4

Multiplica $8$ por $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.9

Suma $- 4$ y $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.10

Combina $2$ y $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.11

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.12

Cancela el factor común de $10$ y $72$ .

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Paso 9.1.3.12.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.1.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Paso 9.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.54435399 \dots$

Paso 11