Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Paso 2

Dado que $7$ es constante con respecto a $y$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Paso 4

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $y^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 7.1.2

Mueve $y^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{y^{4}}{4}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Paso 7.2.2

Evalúa $- \frac{1}{2 y^{2}}$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.3.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.5

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.6

Combina $- 4$ y $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.8.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.8.2

Resta $16$ de $1$ .

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.11

Combina $- 7$ y $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.12

Multiplica $- 7$ por $15$ .

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.15

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Paso 7.2.3.16

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Paso 7.2.3.17

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Paso 7.2.3.18

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Paso 7.2.3.19

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.19.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Paso 7.2.3.19.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Paso 7.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

Paso 7.2.3.21

Suma $- 4$ y $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

Paso 7.2.3.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

Paso 7.2.3.23

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

Paso 7.2.3.24

Combina $- 4$ y $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Paso 7.2.3.25

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

Paso 7.2.3.26

Cancela el factor común de $- 12$ y $8$ .

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Paso 7.2.3.26.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Paso 7.2.3.26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.26.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.2.3.27

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

Paso 7.2.3.28

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.3.29

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.29.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.29.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 7.2.3.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

Paso 7.2.3.31

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.31.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 105 - 6}{4}$

Paso 7.2.3.31.2

Resta $6$ de $- 105$ .

$\frac{- 111}{4}$

Paso 7.2.3.32

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{111}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{111}{4}$

Forma decimal:

$- 27.75$

Forma de número mixto:

$- 27 \frac{3}{4}$

Paso 9