Cálculo Ejemplos

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Paso 2

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Paso 5

Sea $u = 6 x$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 6 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 5.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$