Cálculo Ejemplos

$\int 12 \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Combina $12$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $36$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 5.2.3.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$9 {\sin (x)}^{\frac{4}{3}} + C$