Cálculo Ejemplos

$\int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $t$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Paso 2

Sea $u = 3 t^{2} - 1$ . Entonces $d u = 6 t d t$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 t^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$6 t + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $6 t$ y $0$ .

$6 t$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Paso 3

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $12$ .

$\frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $12$ y $6$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Paso 5.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int u^{3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + C$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + C$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u^{4} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C$