Cálculo Ejemplos

$\int 15 x e^{- 3 x} d x$

Paso 1

Dado que $15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$15 \int x e^{- 3 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$15 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x)$

Paso 3.3

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ por $1$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 7.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u)$

Paso 8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u))$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $15 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ como $15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$15 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.2

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{x}{3}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Paso 13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u}}{9}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$15 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$15 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) + C$