Cálculo Ejemplos

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Paso 1

Dado que $15$ es constante con respecto a $y$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

Paso 2

Sea $u_{1} = y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ como $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.3.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Entonces $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ como ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.2

Como $4$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{3}{2}$ y ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.9

Combina $4$ y $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $3$ por $4$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.11

Factoriza $2$ de $12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.3.12.4

Divide $6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $3$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.5

Reescribe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ como un radical.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 5

Combina ${u_{2}}^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $15$ .

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 7.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{3}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ como $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ .

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

Paso 9.2

Combina $5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ .

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$