Cálculo Ejemplos

$\int 18 x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

Paso 1

Dado que $18$ es constante con respecto a $x$ , mueve $18$ fuera de la integral.

$18 \int x^{2} \sqrt[4]{6 x^{3} + 5} d x$

Paso 2

Sea $u = 6 x^{3} + 5$ . Entonces $d u = 18 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{18} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 6 x^{3} + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $6 x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} + 5]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{3} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 x^{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $18 x^{2}$ y $0$ .

$18 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$18 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{18} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt[4]{u}$ y $\frac{1}{18}$ .

$18 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{18} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{18}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{18}$ fuera de la integral.

$18 (\frac{1}{18} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{18}$ y $18$ .

$\frac{18}{18} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{18}{18} \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.1.3

Multiplica $\int \sqrt[4]{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt[4]{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int u^{\frac{1}{4}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x^{3} + 5$ .

$\frac{4}{5} {(6 x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}} + C$