Cálculo Ejemplos

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Paso 1

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $6$ como $4$ más $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 2.4

Reescribe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Paso 5

Expande $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.8

Mueve $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.9

Reordena $u^{4}$ y $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.10

Reordena $u^{2}$ y $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.11

Reordena $u^{4}$ y $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Paso 5.12

Multiplica $1$ por $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.13

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.14

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.16

Suma $4$ y $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.17

Multiplica $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.19

Suma $4$ y $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Paso 5.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Paso 5.21

Suma $4$ y $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Paso 5.22

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Paso 5.23

Suma $6$ y $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Paso 5.24

Suma $u^{6}$ y $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Paso 5.25

Reordena $2 u^{6}$ y $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Paso 5.26

Mueve $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{8}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 11.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$