Cálculo Ejemplos

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los factores de $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reescribe $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ como $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ .

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $16$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $16$ y $12$ .

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Paso 4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$