Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \ln (x^{m}) d x$

Paso 1

Reescribe $\ln (x^{m})$ como $m \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} m \ln (x) d x$

Paso 2

Dado que $m$ es constante con respecto a $x$ , mueve $m$ fuera de la integral.

$m \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Paso 3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$m (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\ln (x) x$ en $e$ y en $1$ .

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Paso 6.2

Evalúa $x$ en $e$ y en $1$ .

$m ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$m (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$m (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 7.1.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$m (e - \ln (1) - (e - 1))$

Paso 7.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$m (e - 0 - (e - 1))$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$m (e + 0 - (e - 1))$

Paso 7.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$m (e + 0 - e - - 1)$

Paso 7.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$m (e + 0 - e + 1)$

Paso 7.2

Suma $e$ y $0$ .

$m (e - e + 1)$

Paso 7.3

Resta $e$ de $e$ .

$m (0 + 1)$

Paso 7.4

Suma $0$ y $1$ .

$m \cdot 1$

Paso 7.5

Multiplica $m$ por $1$ .

$m$