Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Paso 3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 6

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 6.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Paso 6.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 9.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 9.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 9.3.5

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Paso 11.3

Divide $e$ por $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Paso 12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{2}$

Paso 12.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$