Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ en $e$ y en $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $e$ y en $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 6.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Paso 6.2.3.4

Multiplica $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Paso 6.2.3.5

Combinar.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.7.1

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.7.2

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.9

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.10

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 6.2.3.10.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.10.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Paso 6.2.3.11

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Paso 6.2.3.12

Para escribir $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 6.2.3.13

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.13.1

Multiplica $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 6.2.3.13.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 6.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 6.2.3.15

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7.1.1.5

Resta $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Paso 7.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Paso 7.1.3

Divide $0$ por $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Paso 7.2

Suma $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ y $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Paso 7.3.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Paso 7.3.4

Reescribe la expresión.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Paso 7.4

Combina $2$ y $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Forma decimal:

$27.44738256 \dots$