Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 9$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Paso 1.1.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Paso 1.3

Resta $9$ de $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Paso 1.5

Resta $9$ de $9$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ en $0$ y en $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.6

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.9

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Paso 4.2.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Paso 4.2.11

Combina $- 4$ y $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Paso 4.2.12

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Paso 4.2.13

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 4.2.13.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Paso 4.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.13.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Paso 4.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Paso 4.2.13.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$0 - 6$

Paso 4.2.14

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$

Paso 5