Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2}$ en $9$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Paso 6.2

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.6

Resta $1$ de $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.7

Cancela el factor común de $80$ y $2$ .

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Paso 6.3.7.1

Factoriza $2$ de $80$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.7.2.4

Divide $40$ por $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.10.1

Cancela el factor común.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.10.2

Reescribe la expresión.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.11

Evalúa el exponente.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Paso 6.3.14

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Paso 6.3.15

Resta $2$ de $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Paso 6.3.16

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$40 - 4$

Paso 6.3.17

Resta $4$ de $40$ .

$36$

Paso 7