Cálculo Ejemplos

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

Paso 1

Completa el cuadrado.

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Paso 1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1

Mueve $20$ .

$- 8 x - x^{2} + 20$

Paso 1.1.2

Reordena $- 8 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x + 20$

Paso 1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

Paso 1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Paso 1.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 4$ como $- - 4$ .

$d = - - 4$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$d = 4$

Paso 1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

Paso 1.5.2.1.3

Divide $64$ por $- 4$ .

$e = 20 - - 16$

Paso 1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$e = 20 + 16$

Paso 1.5.2.2

Suma $20$ y $16$ .

$e = 36$

Paso 1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 4)}^{2} + 36$ .

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x + 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x + 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 4$ .

$u_{lower} = - 10 + 4$

Paso 2.3

Suma $- 10$ y $4$ .

$u_{lower} = - 6$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 4$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Paso 2.5

Suma $2$ y $4$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{1} = 6 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $36$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.2

Reordena $- 36 \sin^{2} (t)$ y $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $36$ de $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.5

Factoriza $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.7

Reescribe $36 \cos^{2} (t)$ como ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Dado que $36$ es constante con respecto a $t$ , mueve $36$ fuera de la integral.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 8.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = - π$

Paso 11.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 11.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 11.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 11.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Paso 11.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Paso 16

Sustituye y simplifica.

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Paso 16.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Paso 16.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $π$ y en $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.3

Simplifica.

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Paso 16.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.3.2

Suma $π$ y $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.3.3.1

Cancela el factor común.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Paso 16.3.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Paso 17.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Paso 17.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Paso 17.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Paso 17.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Paso 17.1.6

Suma $0$ y $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Paso 17.2

Divide $0$ por $2$ .

$18 (π + 0)$

Paso 18

Suma $π$ y $0$ .

$18 π$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$18 π$

Forma decimal:

$56.54866776 \dots$

Paso 20