Cálculo Ejemplos

$\int 100 - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 100 d q + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$100 q + C + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Paso 3

Dado que $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $q$ , mueve $- \frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{2 q} d q$

Paso 4

Sea $u = 2 q$ . Entonces $d u = 2 d q$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d q$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 q$ . Obtén $\frac{d u}{d q}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 q$ .

$\frac{d}{d q} [2 q]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $q$ , la derivada de $2 q$ con respecto a $q$ es $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$2 \frac{d}{d q} [q]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ es $n q^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$100 q + C - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Paso 7.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} \int \sqrt{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$100 q - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{4}$ .

$100 q - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$100 q - \frac{6}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$100 q - \frac{6}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $6$ y $12$ .

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Paso 9.2.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$100 q - \frac{6 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.4.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$100 q - \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 q$ .

$100 q - \frac{1}{2} {(2 q)}^{\frac{3}{2}} + C$