Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{6} t^{2} - 5 t + 6 d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{6} t^{2} d t + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Paso 3

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 \int_{1}^{6} t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + 6 t]_{1}^{6}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6}$ y $6 t]_{1}^{6}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + 6 t]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} t^{3} + 6 t$ en $6$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{t^{2}}{2}$ en $6$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $216$ .

$\frac{216}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{72}{1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$72 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $6$ por $6$ .

$72 + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.5

Suma $72$ y $36$ .

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.10

Combina $6$ y $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$108 - \frac{1 + 6 \cdot 3}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.12.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$108 - \frac{1 + 18}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12.2

Suma $1$ y $18$ .

$108 - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.13

Para escribir $108$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$108 \cdot \frac{3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14

Combina $108$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{108 \cdot 3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{108 \cdot 3 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.16.1

Multiplica $108$ por $3$ .

$\frac{324 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16.2

Resta $19$ de $324$ .

$\frac{305}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.17

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.19

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.20

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.21

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{305}{3} - 5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 7.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.23.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 \frac{36 - 1}{2}$

Paso 7.2.3.23.2

Resta $1$ de $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{35}{2})$

Paso 7.2.3.24

Combina $- 5$ y $\frac{35}{2}$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 5 \cdot 35}{2}$

Paso 7.2.3.25

Multiplica $- 5$ por $35$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 175}{2}$

Paso 7.2.3.26

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{305}{3} - \frac{175}{2}$

Paso 7.2.3.27

Para escribir $\frac{305}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2}$

Paso 7.2.3.28

Para escribir $- \frac{175}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.29

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.29.1

Multiplica $\frac{305}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.29.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.29.3

Multiplica $\frac{175}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.29.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{6}$

Paso 7.2.3.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{305 \cdot 2 - 175 \cdot 3}{6}$

Paso 7.2.3.31

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.31.1

Multiplica $305$ por $2$ .

$\frac{610 - 175 \cdot 3}{6}$

Paso 7.2.3.31.2

Multiplica $- 175$ por $3$ .

$\frac{610 - 525}{6}$

Paso 7.2.3.31.3

Resta $525$ de $610$ .

$\frac{85}{6}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{85}{6}$

Forma decimal:

$14.1\overline{6}$

Forma de número mixto:

$14 \frac{1}{6}$

Paso 9