Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Paso 2

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

Paso 5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$u_{upper} = - 6$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Paso 7.2

Multiplica $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ por $1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $6$ y en $1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Paso 9.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 6$ y en $- 1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

Paso 9.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Paso 10

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $6$ es $6$ .

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Paso 11.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Paso 11.3

Divide $6$ por $1$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Paso 11.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$15.76043453 \dots$

Paso 13