Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{7} t^{2} - 2 t - 24 d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 24 t]_{1}^{7}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}$ y $- 24 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} - 24 t]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} t^{3} - 24 t$ en $7$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{t^{2}}{2}$ en $7$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 343 - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $343$ .

$\frac{343}{3} - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 24$ por $7$ .

$\frac{343}{3} - 168 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.4

Para escribir $- 168$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} - 168 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.5

Combina $- 168$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} + \frac{- 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{343 - 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.7.1

Multiplica $- 168$ por $3$ .

$\frac{343 - 504}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7.2

Resta $504$ de $343$ .

$\frac{- 161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.11

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12

Para escribir $- 24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.13

Combina $- 24$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 24 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.15.1

Multiplica $- 24$ por $3$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 72}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15.2

Resta $72$ de $1$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{- 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{161}{3} - - \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{161}{3} + 1 (\frac{71}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18

Multiplica $\frac{71}{3}$ por $1$ .

$- \frac{161}{3} + \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 161 + 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.20

Suma $- 161$ y $71$ .

$\frac{- 90}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.21

Cancela el factor común de $- 90$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.21.1

Factoriza $3$ de $- 90$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.21.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 30}{3 (1)} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 30}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 30}{1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.21.2.4

Divide $- 30$ por $1$ .

$- 30 - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.22

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.23

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 30 - 2 \frac{49 - 1}{2}$

Paso 7.2.3.25

Resta $1$ de $49$ .

$- 30 - 2 (\frac{48}{2})$

Paso 7.2.3.26

Cancela el factor común de $48$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.26.1

Factoriza $2$ de $48$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Paso 7.2.3.26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.26.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Paso 7.2.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$- 30 - 2 (\frac{24}{1})$

Paso 7.2.3.26.2.4

Divide $24$ por $1$ .

$- 30 - 2 \cdot 24$

Paso 7.2.3.27

Multiplica $- 2$ por $24$ .

$- 30 - 48$

Paso 7.2.3.28

Resta $48$ de $- 30$ .

$- 78$

Paso 8