Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{5} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} x \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x) x]_{1}^{5} - (x]_{1}^{5})$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\ln (x) x$ en $5$ y en $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{5})$

Paso 4.2

Evalúa $x$ en $5$ y en $1$ .

$(\ln (5) \cdot 5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Mueve $5$ a la izquierda de $\ln (5)$ .

$5 \cdot \ln (5) - \ln (1) \cdot 1 - ((5) - 1)$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - ((5) - 1)$

Paso 4.3.3

Resta $1$ de $5$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 1 \cdot 4$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$5 \ln (5) - \ln (1) - 4$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$5 \ln (5) - 0 - 4$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 \ln (5) + 0 - 4$

Paso 5.2

Suma $5 \ln (5)$ y $0$ .

$5 \ln (5) - 4$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$5 \ln (5) - 4$

Forma decimal:

$4.04718956 \dots$