Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} x \sqrt{x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Paso 1.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{2}{5}$ y $32$ .

$\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Paso 3.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 - 2}{5}$

Paso 3.2.10

Resta $2$ de $64$ .

$\frac{62}{5}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{62}{5}$

Forma decimal:

$12.4$

Forma de número mixto:

$12 \frac{2}{5}$

Paso 5