Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2 x}^{2 x} s^{2} d s$

Paso 1

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s + \int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- 2 x}^{c} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 3

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 4

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{- 2 x} s^{2} d s$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [- 2 x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 5.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} s^{2} d s]$

Paso 6

Calcula la derivada de $\int_{c}^{2 x} s^{2} d s$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x] {(2 x)}^{2}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x] {(2 x)}^{2}$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 \cdot 1 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3

Simplifica los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 (- {(- 2 x)}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$- 2 (- {(- 2 (x))}^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.3.1

Aplica la regla del producto a $- 2 (x)$ .

$- 2 (- ({(- 2)}^{2} x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 (- (4 x^{2})) + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{2}) + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.3.4

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 x)}^{2}$

Paso 7.3.4

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$8 x^{2} + 2 {(2 (x))}^{2}$

Paso 7.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.5.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$8 x^{2} + 2 (2^{2} x^{2})$

Paso 7.3.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{2} + 2 (4 x^{2})$

Paso 7.3.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 x^{2} + 8 x^{2}$

Paso 7.3.6

Suma $8 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$16 x^{2}$