Cálculo Ejemplos

$40 h^{5} + 4000000 = p^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d p} (40 h^{5} + 4000000) = \frac{d}{d p} (p^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $40 h^{5} + 4000000$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$ .

$\frac{d}{d p} [40 h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d p} [40 h^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $40$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $40 h^{5}$ con respecto a $p$ es $40 \frac{d}{d p} [h^{5}]$ .

$40 \frac{d}{d p} [h^{5}] + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ es $f' (g (p)) g' (p)$ donde $f (p) = p^{5}$ y $g (p) = h$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $h$ .

$40 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$40 (5 u^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $h$ .

$40 (5 h^{4} \frac{d}{d p} [h]) + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d p} [h]$ como $h'$ .

$40 (5 h^{4} h') + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $40$ .

$200 h^{4} h' + \frac{d}{d p} [4000000]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $4000000$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $4000000$ con respecto a $p$ es $0$ .

$200 h^{4} h' + 0$

Paso 2.3.2

Suma $200 h^{4} h'$ y $0$ .

$200 h^{4} h'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 p^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$200 h^{4} h' = 3 p^{2}$

Paso 5

Divide cada término en $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ por $200 h^{4}$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $200 h^{4} h' = 3 p^{2}$ por $200 h^{4}$ .

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $200$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{200 h^{4} h'}{200 h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $h^{4}$ .

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{h^{4} h'}{h^{4}} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Divide $h'$ por $1$ .

$h' = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$

Paso 6

Reemplaza $h'$ con $\frac{d h}{d p}$ .

$\frac{d h}{d p} = \frac{3 p^{2}}{200 h^{4}}$