Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{4} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x)$

Paso 2.6

Reordena.

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Paso 2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} x^{2} y' + 2 y^{4} x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $2 y^{4} x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$ por $4 y^{3} x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 y^{3} x^{2} y' = - 2 y^{4} x$ por $4 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{4 y^{3} x^{2} y'}{4 y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} x^{2} y'}{4 y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} x^{2} y'}{y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} x^{2} y'}{y^{3} x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{4} x}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{4} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{4 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{2 (2 y^{3} x^{2})}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{4} x)}{2 (2 y^{3} x^{2})}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{4} x}{2 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $y^{4}$ y $y^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $- y^{4} x$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{2 y^{3} x^{2}}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $2 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{y^{3} (2 x^{2})}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{3} (- y x)}{y^{3} (2 x^{2})}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{2 x^{2}}$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Factoriza $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{2 x^{2}}$

Paso 5.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (2 x)}$

Paso 5.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y)}{x (2 x)}$

Paso 5.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{2 x}$

Paso 5.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{2 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$