Cálculo Ejemplos

$\int y \ln (y) d y$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (y)$ y $d v = y$ .

$\ln (y) (\frac{1}{2} y^{2}) - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\ln (y) \frac{y^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Paso 2.2

Combina $\ln (y)$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} y^{2} \frac{1}{y} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int y^{2} \frac{1}{y} d y)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y^{2}}{y} d y)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y} d y)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{y}{1} d y)$

Paso 4.2.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int y d y)$

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int y d y$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (y)}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{\ln (y)}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} y^{2} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{1}{4} y^{2} + C$

Paso 6.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (y) y^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} + C$

Paso 6.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (y) y^{2} - \frac{1}{4} y^{2} + C$