Cálculo Ejemplos

$\int y \sqrt{2 y + 2} d y$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = \sqrt{2 y + 2}$ .

$y (\frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 2.2

Combina $y$ y $\frac{{(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 4

Sea $u = 2 y + 2$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 y + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Combina $u^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$\frac{y}{3} {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{y}{3}$ y ${(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $30$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 9.2.6

Para escribir $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 9.2.7

Combina $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 9.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Paso 9.2.9

Combina $u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{1}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

Paso 9.2.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Paso 9.2.11

Combina $- 3$ y $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

Paso 9.2.12

Factoriza $3$ de $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

Paso 9.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.13.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

Paso 9.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

Paso 9.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.15

Para escribir $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.16

Combina $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.18

Mueve $5$ a la izquierda de $y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot (y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

Paso 9.2.19

Reescribe $\frac{\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ como un producto.

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

Paso 9.2.20

Multiplica $\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Paso 9.2.21

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 2$ .

$\frac{5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{15} (5 y {(2 y + 2)}^{\frac{3}{2}} - {(2 y + 2)}^{\frac{5}{2}}) + C$