Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ como una ecuación.

$y = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 \ln (\frac{y}{2} + 1)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ .

$2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 \ln (\frac{y}{2} + 1) = x$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (\frac{y}{2} + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $\ln (\frac{y}{2} + 1)$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{2} + 1)} = e^{\frac{x}{2}}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{y}{2} + 1) = \frac{x}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2} + 1$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{y}{2} + 1 = e^{\frac{x}{2}}$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{2} = e^{\frac{x}{2}} - 1$

Paso 3.5.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Paso 3.5.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Paso 3.5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.2.1

Simplifica $2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot - 1$

Paso 3.5.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ es la inversa de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\frac{2 \ln (\frac{x}{2} + 1)}{2}} - 2$

Paso 5.2.3.1.2

Divide $\ln (\frac{x}{2} + 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} + 1)} - 2$

Paso 5.2.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2} + 1) - 2$

Paso 5.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 1 - 2$

Paso 5.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 \cdot 1 - 2$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 2 - 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (\frac{x}{2} + 1)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 e^{\frac{x}{2}} - 2}{2} + 1)$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 e^{\frac{x}{2}}$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) - 2}{2} + 1)$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (e^{\frac{x}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2} + 1)$

Paso 5.3.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 (1)} + 1)$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{2 (e^{\frac{x}{2}} - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (\frac{e^{\frac{x}{2}} - 1}{1} + 1)$

Paso 5.3.3.4.4

Divide $e^{\frac{x}{2}} - 1$ por $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1)$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $e^{\frac{x}{2}} - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Paso 5.3.4.2

Suma $e^{\frac{x}{2}}$ y $0$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Paso 5.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{x}{2}$ fuera del exponente.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Paso 5.3.6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Paso 5.3.7

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (2 e^{\frac{x}{2}} - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$ es la inversa de $f (x) = 2 \ln (\frac{x}{2} + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 e^{\frac{x}{2}} - 2$