Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{(d x) \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Paso 1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x \int_{0}^{x} 13 t^{2} + \sqrt{t} d t}$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x (\int_{0}^{x} 13 t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Paso 3

Dado que $13$ es constante con respecto a $t$ , mueve $13$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x (13 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} \sqrt{t} d t)}$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} t^{\frac{1}{2}} d t)}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{x})}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{t^{3}}{3}$ en $x$ y en $0$ .

$\frac{1}{x (13 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{x})}$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $x$ y en $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{x (13 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.4

Suma $\frac{x^{3}}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x (13 \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.5

Combina $13$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.2.3.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Paso 7.2.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})}$

Paso 7.2.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})}$

Paso 7.2.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})}$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{3})}$

Paso 7.2.3.11

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.11.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 (0)}{3})}$

Paso 7.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Paso 7.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}$

Paso 7.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{0}{1})}$

Paso 7.2.3.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 0)}$

Paso 7.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 0)}$

Paso 7.2.3.13

Suma $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x (\frac{13 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3})}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x (\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $\frac{13}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 8.1.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 8.1.1.1.1

Reordena $\frac{13}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 8.1.1.1.2

Reordena $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{3} \frac{13}{3} + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{3} \frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{2}{3})$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{3}{2}} \frac{13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Paso 8.1.2

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{13}{3}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 13}{3} + \frac{2}{3}))}$

Paso 8.1.3

Mueve $13$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x (x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3}))}$

Paso 8.1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.5

Multiplica $x$ por $x^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.5.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 8.1.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{1 + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{2 + 3}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.5.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} (\frac{13 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3})}$

Paso 8.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}}$

Paso 8.2

Combina $x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{13 x^{\frac{3}{2}} + 2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}{3}}$

Paso 8.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$ por $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{5}{2}} (13 x^{\frac{3}{2}} + 2)}$