Cálculo Ejemplos

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x \cos (y)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.2.6

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \sin (2 y)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 y$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sin (y)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \cos (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

Paso 5.2

Resta $4 \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

Paso 5.3

Resta $5 \cos (y) y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ .

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Paso 5.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $14$ por $1$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

Paso 5.4.1.2

Reordena los factores en $- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ .

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $y'$ de $- 4 x y' \sin (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $y'$ de $14 y'$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $y'$ de $- 28 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.4

Factoriza $y'$ de $- 5 y' \cos (y)$ .

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.1.7

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ .

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ por $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ por $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 x \sin (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.3

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 28 \sin^{2} (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 5 \cos (y)$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

Paso 5.5.2.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Paso 5.5.2.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.2.3.9.1

Reescribe $- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ como $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ .

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

Paso 5.5.2.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Paso 5.5.2.3.9.4

Multiplica $\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ por $1$ .

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$