Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 8} d x$

Paso 1

Cancela el factor común de $2 x - 4$ y $2 x^{2} - 8$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x) - 4}{2 x^{2} - 8} d x]$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2} - 8} d x]$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} - 8} d x]$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2}) - 8} d x]$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4} d x]$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)} d x]$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)} d x]$

Paso 1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x]$

Paso 2

$\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x$ es una antiderivada de $\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ , por lo que, por definición, $\frac{d}{d x} [\int \frac{x - 2}{x^{2} - 4} d x]$ es $\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{2 x^{2} - 8}$

Paso 2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2} - 8}$

Paso 2.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} - 8}$

Paso 2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2}) - 8}$

Paso 2.4.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 4}$

Paso 2.4.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)}$

Paso 2.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 2)}{2 (x^{2} - 4)}$

Paso 2.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x + 2}$