Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{7} 6 (t^{2} - 11 t + 30) d t$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $t$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{4}^{7} t^{2} - 11 t + 30 d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$6 (\int_{4}^{7} t^{2} d t + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} t^{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{3}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} + \int_{4}^{7} - 11 t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 5

Dado que $- 11$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 11$ fuera de la integral.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 \int_{4}^{7} t d t + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{1}{2} t^{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + \int_{4}^{7} 30 d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}) + 30 t]_{4}^{7})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{t^{3}}{3}]_{4}^{7}$ y $30 t]_{4}^{7}$ .

$6 (\frac{t^{3}}{3} + 30 t]_{4}^{7} - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{t^{3}}{3} + 30 t$ en $7$ y en $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 (\frac{t^{2}}{2}]_{4}^{7}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{t^{2}}{2}$ en $7$ y en $4$ .

$6 ((\frac{7^{3}}{3} + 30 \cdot 7) - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$6 (\frac{343}{3} + 30 \cdot 7 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $30$ por $7$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.3

Para escribir $210$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + 210 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.4

Combina $210$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{343}{3} + \frac{210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{343 + 210 \cdot 3}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.6.1

Multiplica $210$ por $3$ .

$6 (\frac{343 + 630}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.6.2

Suma $343$ y $630$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{4^{3}}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 30 \cdot 4) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.8

Multiplica $30$ por $4$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.9

Para escribir $120$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.10

Combina $120$ y $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{973}{3} - (\frac{64}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}) - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 120 \cdot 3}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.12.1

Multiplica $120$ por $3$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{64 + 360}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.12.2

Suma $64$ y $360$ .

$6 (\frac{973}{3} - \frac{424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{973 - 424}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.14

Resta $424$ de $973$ .

$6 (\frac{549}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.15

Cancela el factor común de $549$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.15.1

Factoriza $3$ de $549$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 (1)} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{3 \cdot 183}{3 \cdot 1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{183}{1} - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.15.2.4

Divide $183$ por $1$ .

$6 (183 - 11 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.16

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{4^{2}}{2}))$

Paso 9.2.3.17

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{16}{2}))$

Paso 9.2.3.18

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Paso 9.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Paso 9.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - \frac{8}{1}))$

Paso 9.2.3.18.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 1 \cdot 8))$

Paso 9.2.3.19

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8))$

Paso 9.2.3.20

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 9.2.3.21

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 - 11 (\frac{49}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2}))$

Paso 9.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (183 - 11 \frac{49 - 8 \cdot 2}{2})$

Paso 9.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.23.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$6 (183 - 11 \frac{49 - 16}{2})$

Paso 9.2.3.23.2

Resta $16$ de $49$ .

$6 (183 - 11 (\frac{33}{2}))$

Paso 9.2.3.24

Combina $- 11$ y $\frac{33}{2}$ .

$6 (183 + \frac{- 11 \cdot 33}{2})$

Paso 9.2.3.25

Multiplica $- 11$ por $33$ .

$6 (183 + \frac{- 363}{2})$

Paso 9.2.3.26

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (183 - \frac{363}{2})$

Paso 9.2.3.27

Para escribir $183$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (183 \cdot \frac{2}{2} - \frac{363}{2})$

Paso 9.2.3.28

Combina $183$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{183 \cdot 2}{2} - \frac{363}{2})$

Paso 9.2.3.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{183 \cdot 2 - 363}{2}$

Paso 9.2.3.30

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.30.1

Multiplica $183$ por $2$ .

$6 \frac{366 - 363}{2}$

Paso 9.2.3.30.2

Resta $363$ de $366$ .

$6 (\frac{3}{2})$

Paso 9.2.3.31

Combina $6$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{2}$

Paso 9.2.3.32

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18}{2}$

Paso 9.2.3.33

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.33.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Paso 9.2.3.33.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.33.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Paso 9.2.3.33.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2.3.33.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1}$

Paso 9.2.3.33.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$9$

Paso 10