Cálculo Ejemplos

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

Paso 1

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

Paso 5

Sea $u = 4 x - 2$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Paso 8.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ como $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{x}{4}$ y $e^{4 x - 2}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Paso 10.2.3

Para escribir $- \frac{1}{16} e^{u}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 10.2.4

Combina $- \frac{1}{16} e^{u}$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

Paso 10.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

Paso 10.2.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

Paso 10.2.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

Paso 10.2.8

Combina $- 4$ y $\frac{e^{u}}{16}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

Paso 10.2.9

Cancela el factor común de $- 4$ y $16$ .

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Paso 10.2.9.1

Factoriza $4$ de $- 4 e^{u}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

Paso 10.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.9.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

Paso 10.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

Paso 10.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.11

Para escribir $x e^{4 x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.12

Combina $x e^{4 x - 2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.14

Mueve $4$ a la izquierda de $x e^{4 x - 2}$ .

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

Paso 10.2.15

Reescribe $\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ como un producto.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Paso 10.2.16

Multiplica $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

Paso 10.2.17

Multiplica $4$ por $4$ .

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

Paso 10.2.18

Combina $- 7$ y $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ .

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Paso 10.2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 2$ .

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$