Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{(1 + 3 x)}^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(1 + 3 x)}^{2} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 1 + 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 1 + 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}} d u_{1}$

Paso 3.2

Combina $\frac{{u_{1}}^{2}}{3}$ y ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} d u_{1}$

Paso 3.3

Mueve ${(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{3 {(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , de modo que $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{3} - \frac{1}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{3}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \frac{1}{3}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} (1 \cdot 3) d u_{2}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 d u_{2}$

Paso 6.3

Combina $\frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}}$ y $3$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 6.4

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{3 {(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (3 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2})$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 8.1.3

Multiplica $\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{{(3 u_{2} + 1)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{3}}} d u_{2}$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.2.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 8.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 8.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{3}} d u_{2}$

Paso 8.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(3 u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe ${(3 u_{2} + 1)}^{2}$ como $(3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1)$ .

$\int (3 u_{2} + 1) (3 u_{2} + 1) {u_{2}}^{- \frac{1}{3}} d u_{2}$

Paso 9.2