Cálculo Ejemplos

$- \int t \ln (t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (t)$ y $d v = t$ .

$- (\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$- (\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Paso 2.2

Combina $\ln (t)$ y $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2} \cdot \frac{1}{t} d t)$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{t^{2}}{2}$ por $\frac{1}{t}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t^{2}}{2 t} d t)$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{2 t} d t)$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $t$ de $2 t$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 2} d t)$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{t}{2} d t)$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t))$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C))$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$

Paso 5.2

Reescribe $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C))$ como $- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$ .

$- (\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4}) + C$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$- (\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2}) + C$