Cálculo Ejemplos

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

Paso 2

Sea $u_{1} = 9 t$ . Entonces $d u_{1} = 9 d t$ , de modo que $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 9 t$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Paso 2.1.2

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9 t$ con respecto a $t$ es $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$9$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Paso 3

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

Paso 6

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7

Combina $\sin (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $9 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$