Cálculo Ejemplos

$\int_{\ln (27)}^{\ln (216)} e^{\frac{x}{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = \frac{1}{3} d x$ , de modo que $3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (27)}{3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$u_{lower} = \frac{\ln (3^{3})}{3}$

Paso 1.3.2

Expande $\ln (3^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{3 \ln (3)}{3}$

Paso 1.3.3.2

Divide $\ln (3)$ por $1$ .

$u_{lower} = \ln (3)$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (216)}{3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe $\frac{\ln (216)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (216)$ .

$u_{upper} = \frac{1}{3} \ln (216)$

Paso 1.5.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (216)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$u_{upper} = \ln (216^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.5.3

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$u_{upper} = \ln ({(6^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.5.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \ln (6^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 1.5.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \ln (6^{1})$

Paso 1.5.6

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = \ln (6)$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \ln (3)$

$u_{upper} = \ln (6)$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} \cdot 3 d u$

Paso 2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{u}$ .

$\int_{\ln (3)}^{\ln (6)} 3 e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{\ln (3)}^{\ln (6)} e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$3 (e^{u}]_{\ln (3)}^{\ln (6)})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $e^{u}$ en $\ln (6)$ y en $\ln (3)$ .

$3 ((e^{\ln (6)}) - e^{\ln (3)})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3 (6 - e^{\ln (3)})$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3 (6 - 1 \cdot 3)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (6 - 3)$

Paso 5.2.4

Resta $3$ de $6$ .

$3 \cdot 3$

Paso 5.2.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 6